第二章随机变量及其分布

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Ch2 随机变量及其分布

Ch2.1 随机变量及其分布函数

随机变量的定义

随机变量：设是随机试验的样本空间，，按一定法则，与之对应，那么上的单值实值函数即随机变量.

Note: 随机变量一般用大写字母（带下标也可）来表示.

Note: 随机变量是上的一个映射：

定义域：

随机性：随机变量的可能取值不止一个, 试验前只能预知它可能的取值，但不能预知取哪个值

概率特性：随机变量以一定的概率取某个值或某些值

Note: 随机事件可用随机变量的等式或不等式表达. e.g. 若表示某超市在 10:00 - 11:00 使用电子支付的人数：表示“该超市 10:00 - 11:00 使用电子支付的人数超过 20 人”

Note: 在同一个样本空间可以同时定义多个随机变量；各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有关系.

随机变量的分类

离散型
非离散型

其中一种重要的类型为连续型随机变量

引入随机变量的重要意义

任何随机现象可被随机变量描述，引入随机变量是量化地刻画、描述、研究随机现象的统计规律的基础.
借助微积分方法进一步讨论.

随机变量的分布函数

随机变量 的分布函数：，. 也可表示为 .

分布函数的性质

（亦可作）
单调不减
右连续，即（或者）

分布函数在概率计算中的用途

Note:

是分段阶梯函数, 在的可能取值处发生间断.

对离散型随机变量用概率分布（或分布律）比用分布函数计算概率更方便，所以描述离散性随机变量通常用概率分布（或分布律）.

Ch2.2 离散型随机变量及其概率分布

离散型随机变量概率分布的一般概念

离散型随机变量：随机变量的可能取值是有限多个或无穷可列多个

描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律（分布列）：

非负性：

规范性：

常见离散型随机变量及其分布

前置知识

Bernoulli 试验

试验可重复次
每次试验只有两个可能的结果（发生或者发生）
每次试验的结果与其他次试验无关（称为这次试验是相互独立的）

Poisson 定理

Theorem: 设，则对固定的：

Note: 定理说明若，则当较大，较小，而适中，则可以用近似公式：实际计算中，当时，可用上述公式近似计算；而当时，精度更好.
且，由此产生一种离散型随机变量的概率分布：Poisson 分布.

0-1 分布（两点分布）

随机变量只有两个取值（试验只有两个结果）

Poisson 分布

称服从参数为的 Poisson 分布，记作（或）.
实际问题：可以看作是源源不断出现的随机事件流，若它们满足一定的条件，则在长为的时间段内出现的事件数

保险公司某段时间某个保险品种所遇到的索赔次数；

某路段一段时间内发生交通事故的次数；

一段时间内来到某公共汽车站的乘客数；

一段时间内某放射性物质发射出的粒子数；

显微镜下某区域中的白血球数目等等.

PPT 例题/案例选摘

Ch2.3 连续型随机变量及其概率分布

连续型随机变量与概率密度函数

连续型随机变量的概率密度函数：是随机变量的分布函数，若存在一个非负可积函数，使得，则称是连续型随机变量，是它的概率密度函数，简称密度函数或概率密度.

Note: 连续型随机变量的分布函数连续.

Note: 不唯一，允许在有限或可列无穷个点函数值不同.

分布函数的几何意义

概率密度函数的性质

非负性：
规范性：
在的连续点处
描述了在附近单位长度的区间内取值的概率：

Note: 对于连续型随机变量，.

Warning: 概率为 0/1 的事件未必不发生/发生

必然事件概率为 1，概率为 1 必然事件
不可能事件概率为 0，概率为 0 不可能事件

对于连续型随机变量：

非离散非连续的随机变量举例

不是连续函数，在处间断.
非连续也非离散型随机变量.

常见的连续型随机变量及其分布

均匀分布

的密度函数
的分布函数
的取值在内任何长为的小区间的概率与小区间的位置无关，只与其长度成正比.

指数分布

的密度函数
的分布函数
无记忆性：

正态分布（Gauss 分布）

的密度函数

对称性：
最大值：
拐点：
渐近线：轴
单峰状
参数：为位置参数，为形状参数

的分布函数

正态分布

标准正态分布

的密度函数 j
的分布函数

作变量代换，则有 .)*ijy6

Theorem: 若，则有 .

原理

若：
，一次试验中超出此区间可能性很小.

第二章 随机变量及其分布