第六章 数理统计的基本概念

Ch6 数理统计的基本概念

描述统计学

推断统计学

Ch6.1 基本概念

总体和个体

• 总体：研究对象全体元素组成的集合
• 所研究的对象的某个（或某些）数量指标的全体，它是一个随机变量（或多维随机变量），记为 .

• 个体：组成总体的每一个元素
• 即总体的每个数量指标，可看作随机变量 的某个取值，用 表示.

样本和样本空间

• 样本：从总体中抽取的部分个体
• 用 表示， 为样本容量.
• 若依次进行观察得到 个数据 ，称为总体 的一个容量为 的样本观测值，或称样本的一个实现，简称样本值.
• 可以看作是 维随机变量 的一组可能的取值，称 为总体 的一个容量为 的样本.

• 样本空间：样本所有可能取值的集合

• 简单随机样本：若总体 的样本 满足以下条件，则称 为简单随机样本：
1. 与 有相同的分布
2. 相互独立

总体与样本的关系

统计量和常用统计量

• 设 是取自总体 的、容量为 的一个样本，定义以下统计量：
• 样本均值：
• 样本方差：
• 样本标准差：
Note: 请注意上述统计量分别与 、 和总体标准差的区别.
• 样本的 阶原点矩：
• 样本的 阶中心矩：
特别地，，.
Note: 请注意上述统计量分别与总体 阶原点矩 、总体 阶中心矩 的区别.
Note: 请注意样本方差与样本的 阶中心矩的区别.
Note: 若总体 的 阶矩 存在，则 . 即 ，有 .
Note:
重要结论：设总体 的期望与方差存在，，，则 .
• 顺序统计量：当 取值为 时，定义随机变量 ，则称统计量 为顺序统计量.
• 这里 为样本值，且 ，其中 ，称 为极差.
• 中位数：称之为样本观察值的中位数
• 上侧 分位数：设 为连续型随机变量，概率密度函数 ， 为给定常数，，若 ，则称 为 所服从的分布的上侧 分位数.
• 双侧 分位数：如果 的概率密度函数为偶函数，则对于满足 的 ，若 ，则称 为 所服从的分布的双侧 分位数.

PPT 例题/案例选摘

Ch6.2 抽样分布

正态总体的抽样分布

• 何为抽样分布？为何需求抽样分布？
• 统计量的分布为抽样分布.
• 统计量是对总体分布律或数字特征进行推断的基础，因此在使用统计量进行统计推断时需知道其分布.

正态分布

分布及其性质

• .

• 若 ， 相互独立，则 .

• 当 时，

分布及其性质

• 分布的性质如下：
• 当 时， 即为 Cauchy 分布，其数学期望不存在.
• 当 时， 分布的数学期望为 .
• 分布的概率密度 为偶函数，且当 时，
• 即当自由度 充分大时， 分布近似服从标准正态分布.
• 分布的上侧 分位数 可查表，且

分布及其性质

• 若 ，则 .

正态总体的抽样分布

单个正态总体的抽样分布

• 是来自总体 的一个简单随机样本， 分别是样本均值和样本方差.
• 从而：样本均值和样本方差相互独立
现在我们有一个标准正态分布和自由度为 的 分布，从而可以构造出一个 分布：
 
为什么 ？（非严格证明）
• 首先我们有 ， 而
• 其中 ，，利用 Cochran’s Theorem，，得证.

两个正态总体的抽样分布