SJTU 课程学习笔记第四章 随机变量的数字特征
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Ch4 随机变量的数字特征
- 数学期望
- 随机变量的平均取值
- 反映了随机变量取值的平均值，是一种加权平均
- 是一个确定的数
- 方差
- 随机变量取值平均偏离平均值的情况
- 协方差、相关系数
- 描述两个随机变量之间的某种关系的数
Ch4.1 数学期望
数学期望简称期望，又称均值.
离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量 的分布律为
若无穷级数 绝对收敛，即 ，则称 为 的数学期望.
Note: 要求 绝对收敛是为了保证 由 的分布唯一确定，而不会受到无穷级数求和次序的影响，若级数不绝对收敛，则称 的数学期望不存在。连续型随机变量也类似。
连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量 的概率密度为 .
若积分 绝对收敛，，则称此积分的值为 的数学期望.
常见随机变量的数学期望
名称 | 分布 | 期望 | 方差 | 直观理解 |
伯努利分布 | 0-1 分布 | ㅤ | ㅤ | |
二项分布 | ㅤ | ㅤ | ||
泊松分布 | 即“单位时间内随机事件发生的平均次数” | |||
几何分布 | 每次成功概率为 ，则平均 次成功一次 | |||
均匀分布 | ㅤ | |||
指数分布 | 即“单位时间内事件平均发生率”。期望描述等待第一个事件发生所需的平均时间。 | |||
正态分布 | ㅤ | ㅤ |
随机变量函数的数学期望
- Theorem: 设 为随机变量，，其中 是一个确定的函数：
- 设 为离散型随机变量，，若 绝对收敛，则
- 设 为连续型随机变量，概率密度为 ，若 绝对收敛，则
- Theorem: 设 为二维随机变量，，其中 是一个确定的函数：
- 设 为离散型随机变量，，若 绝对收敛，则
- 设 为连续型随机变量，联合概率密度为 ，若 绝对收敛，则
数学期望的性质
- ，其中 为常数
- ，其中 是任意满足 的随机变量， 为任意常数.
PPT 例题/案例选摘
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Ch4.3
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